Få är nog de, som missat paradoxen där en sköldpadda och Akilles ska springa ett lopp. Jag tänker inte redovisa paradoxen, då de flesta nog vet vad den handlar om och de olyckligt ovetande kan helt enkelt googla "Zenons Paradox sköldpadda" för att få fram en beskrivning bättre än den jag kunnat erbjuda.
Istället ska jag gå rakt på kärnan i problemet. En tes som logiskt skulle vara acceptabel skulle enligt mig kunna lyda:
"Om man lägger till något väldigt litet, men aldrig noll, i all oändlighet så kommer man tillslut att överskrida alla tänkbara gränsvärden"
Rent matematiskt så skulle vi dock kunna motbevisa tesen ovan:
Summan av 1/(2^k) där k= 0, 1, 2..., n, konvergerar mot 2.
Alltså: 1/1+1/2+1/4+1/8+...+1/k^n konvergerar mot 2.
I praktiken så innebär det här att hur många gånger vi än lägger till, om än ett ständigt minskande tal, till summan så kommer summan aldrig överskrida eller ens uppnå talet 2. I verkligheten så skulle det här självklart inte gå att testa: vi kan inte dela kakor på liknande sätt tusentals gånger för att se om vi tillslut når upp till 2 kakor.
Det intuitiva är dock, för mig, att oavsett hur liten en mängd man lägger till en summa är, så borde tillslut summan överskrida en gräns om man lägger till mängder länge nog. För mig så skvallrar detta mycket om hur den mänskliga intuitionen fungerar. Även om vi fullt förstår det matematiska beviset, så känns det ÄNDÅ rimligt att oändligt mycket av något litet ändå skulle kunna bli oändligt.
Finns det helt enkelt tillfällen då matematiken inte fungerar ihop med den logiska intuition vi har? Det finns mycket att säga om det här och det är bland det intressantaste jag vet, men jag hoppas att jag får svar i mängder så att jag slipper diskutera här i min ensamhet. Med mig själv.
|
| Kommentarer |
| Carrre - 22 dec 11 - 19:51 |
glasbit: xD!! by the way: "om man svänger ordentligt"?
man kommer väl till "mitten", logiskt sett, om man inte svänger alls.
right? xD |
| glasbit - 22 dec 11 - 18:17 |
Carre: hahaha, ojojoj, jo du har så rätt, jag borde hålla mig
ifrån datorn på nätterna ;) fast om man svänger ordentligt så
kanske...! |
| Carrre - 22 dec 11 - 11:59 |
glasbit:
hur skulle man hamna mitt i rondellen menar du?
:) borde man inte liksom hamna... på vägen? xD |
| glasbit - 22 dec 11 - 01:51 |
ååh. denna fantastiska diskussion. det var krig i klassen
på gymnasiet med anledning av att 1=0.9999...
sedan hade vi ett annat "problem" som jag aldrig fattade
varför det var ett problem, för det finns bara ett riktigt
svar. inget matematiskt, utan bara ett påstående: man kan
aldrig svänga vänster i en rondell! (jag tycker att detta
påstående är korrekt, då man av en vänstersväng skulle hamna
i mitten rondellen, men många ansåg att en vänstersväng
var fullt rimlig. som sagt, egentligen inget problem, men ack
vilka roliga diskussioner. |
| DiktAmi10 - 26 nov 11 - 23:52 |
åh, hade ju velat vara med i diskussionen men är långt ifrån så smart,
så jag får väl nöja mig med att läsa och försöka förstå.. :) |
| Carrre - 14 nov 11 - 22:53 |
måste bara säga att det är grymt intressant själva foruminlägget^^
(och diskutionen) :) |
| svampar - 14 nov 11 - 00:25 |
| nja jag är lite envis... och är man trött missar man saker. Får be om ursäkt för det, har inte sovit på ett tagg och pluggat som fan. Haha, men det är väl ingen ursäkt.. |
| Dufwan - 14 nov 11 - 00:24 |
| Men du greppade du första delen i alla fall ser jag, då borde resten gå smooth nu! |
| Dufwan - 14 nov 11 - 00:22 |
Slarv av mig.
10x -x = 9 => 9x/9 = 9/9 => x=1.
Hoppade över några steg i brist på ork, trötta fingar, har fan skrivit 20 noveller med dig idag. |
| svampar - 14 nov 11 - 00:20 |
ja fast om x=0.9999 är 10x=10*0.9999 vilket är 9.9999
så 10x-x=9.9999-0.99999=9.
hur kan 9x=x?
jag förstår inte. vore tacksam om du förklarade, eller i alla fall försöker förklara, med utförligt. har inte läst lika mycket matte som du, och vore roligt att lära mig mer. är jäkligt intresserad. |
| Dufwan - 14 nov 11 - 00:14 |
| Det allra viktigaste är att komma ihåg att man aldrig får avrunda, aldrig aldrig, det är inte en avrundning man gör. |
| Dufwan - 14 nov 11 - 00:14 |
Nej, då gör man talet mindre exakt. 0,999 är inte detsamma som 0,99 och inte detsamma som 1. 0,999 i all oändlighet är dock detsamma som 1, BARA för att 10x -x = 9=9x=x=1.
IGEN, så har jag inte avrundat någonstans. Avrunda aldrig någonsin, i något sammanhang, det blir ALLTID fel då!!! ALDRIG!!!!!!!!
Jag tror inte att man kan förklara något sådant här bara huxflux. Det krävs antagligen att man har en matematiskt bakgrund. Antar att jag inte hade haft lika lätt för det om det inte vore för att jag läst matte hela gymnasiet samt hela min universitetstid. Sök på "0,9999" på google om du vill veta mer. Men som sagt, så krävs det nog att man känner sig väldigt bekväm med ekvationer. |
| svampar - 14 nov 11 - 00:05 |
| ja fast då kan man ju säga att 0.999999 kan skrivas 0.99, istället för 1. där man har avrundat, precis som man gör i 1.53999 har avrundats till 1.54. Då är det ju avrundning. Du får förklara lite tydligare... |
| Dufwan - 14 nov 11 - 00:02 |
x=0,999... och sedan multiplicera båda sidor i likheten med 10, då fås 10x=9,999... Observera att niorna efter decimaltecknet fortfarande är oändligt många, dvs 9,999...=9+0,999...=9+x. Då har vi att 10x=9+x vilket ger att 9x=9 och att x=1
Det kan nämnas att alla decimaltal som slutar med oändligt antal nior har samma egenskap, att de i decimalform kan skrivas på två sätt. T.ex. gäller att 1,53999...=1,54 Detta följer ju i princip direkt från att 0,999...=1 |
| Dufwan - 13 nov 11 - 23:59 |
| Du förstår inte. Vi får inte göra en avrundning någonstans, vilket du gör. Istället så tar vi minus, ju. 9,99999 minus 0,999999 = 9. 9=9x. X=1. 0,9999999999 i all oändlighet ÄR lika med ett, men inte för att man avrundar. |
| svampar - 13 nov 11 - 23:56 |
X=1
X/3=0.3333
(X/3)*3=O.9999 <=> X=0.9999 (alltså är 1=0.999?) |
| Dufwan - 13 nov 11 - 23:42 |
Nej, du fattade nog inte. Läs igen, jag lovar att jag har rätt. Vi kom till att x= 1, alltså så är vi tillbaka där vi började.
Vart menar du att jag bara har kommit till nio? |
| svampar - 13 nov 11 - 23:37 |
| dufwan- du har ändå inte kommit till 10. Du har kommit till 9, ja, men inte 10. Då måste du multiplicera 9, vilket kommer upp till 90, och därmed bar nior. Jag är ledsen, men jag förstår inte. Du måste förklara tydligare. Hur kan 1=0.9999? det går inte ihop. |
| Dufwan - 13 nov 11 - 23:27 |
| Liknande, om än mer komplicerade, händelseförlopp kan förklara varför det faktiskt kan bli 2 och inte 1,9999999. Fast det här är det väldigt få som vet, såklart, så jag förstår om du inte kände till det. Dock kan du ju skälla ut alla som tror att det beror på avrundning nu i framtiden ;) |
| Dufwan - 13 nov 11 - 23:25 |
Nej, det är ingen avrundning X)
Det är en effekt av vårt talsystem, som jag försökte säga. Så här lyder hela förloppet, som "sker under ytan":
X=1
X/3= 0,3333333
(x/3)*3= 0,99999 <=> x=0,99999
x*10=9,99999
10x-x= 9,99999-0,99999= 9x
9x=9
x=1
Då 1/3 * 3 ÄR ett, det bara är ju så liksom, så bemödar man sig sällan med att skriva ut annat än att X är båda 0,99999 i en oändlighet samt att x är ett. I praktiken betyder ju x detsamma, alltså ett, bara att min uträkning visade varför! Vad man gör är ju att man tar x delat på tre gånger tre, vilket blir x.
x/3 *3= x - det säger ju sig själv
1/3*3 blir ju också ett!
Att man, när man sätter in ett i x, får en potentiellt oändlig kvot samt en oändlig produkt är bara en intressant effekt av vårt talsystem och ett bevis för att talsystemet är tiobas- baserat (om man kan säga så, lät lite fult). Om jag är oklar, så säg gärna till!
Det fungerar likadant med 10, 100, 10000, 10000000000000. |
| svampar - 13 nov 11 - 23:23 |
| alltså, dufwan, du får ursäkta om jag är otydlig. Jag har inte sovit på länge och alla ord i mitt huvud blandar ihop sig. |
| svampar - 13 nov 11 - 23:22 |
| ja, fast då är det ju avrundning, och inte de "rätta" siffrorna. 10/3=3.333osv. 3.333...*10=9.9999 osv. Att man senare har lagt in en avrundning har ju inte riktigt med saken att göra. Själva frågan var ju att den logiska intuitionen inte räcker till,och att matematiken har rätt, eller? I själva verket spelar det inte så stor roll i vilken ordning det var, eftersom svaret är detsamma. "Om man lägger till något väldigt litet, men aldrig noll, i all oändlighet så kommer man tillslut att överskrida alla tänkbara gränsvärden" och matematiken motbevisar det. Alltså går inte den logiska intuitionen och matematiken ihop just här. Om man inte ändrar på något. Fan, nu trasslar jag ihop mig i mina ord. Det jag försöker säga är JA på första frågan i sista stycket. |
| Dufwan - 13 nov 11 - 23:08 |
| Det matematiska var det aldrig någon som ifrågasatte. Dock så går det att räkna ut. Annars så hade man ju aldrig kommit fram till dörren liksom, om man ständigt gick halva vägen. Det tiobaserade talsystemet har några fina finesser på det sättet. Precis som att 10/3 *3 = 10 och inte 9,999999999. |
| svampar - 13 nov 11 - 22:54 |
| eftersom det hela tiden blir mindre, kommer det aldrig längre upp än 9, och därmed fylls det bara på med nior.. |
| svampar - 13 nov 11 - 22:54 |
| nja, jag försökte snarare visa på att det inte blir mer än 1,999 i all oändlighet om man inte ändrar på matematiken.. |
| Dufwan - 13 nov 11 - 22:49 |
Det där, sa ingenting. Matematik är inte riktigt en vetenskap för övrigt, det är mer som filosofi.
Fast jag menar att man halverar som du gjorde! Det är inte ett olösligt matematiskt problem på något sätt, det jag och ww pratade om här under var snarare hur det klickade med den logiska intuitionen. Sen så började jag prata lite om Gödel och hans teorem. Om du har några egna matematiska problem som verkar ologiska, ta gärna upp dem. |
| svampar - 13 nov 11 - 22:35 |
1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125+0.015625+0.0078125 +0.00390625+0.00195312+0.00097656+0.00048828+0.000 24414+0.00012207+0.00006103+0.0000305+0.00001525+0 .00000762+0.00000381+0.00000190=1.99999803 osv.
Okej! Nu har jag räknat. Till slut borde det vara 1.999999osv. i all oändlighet. Orkar inte räkna, kommer nog inte komma fram till något ändå, och det är väl ganska onödigt. Men, det är inte vetenskap om man inte testar. Tror dock inte att det riktigt är värt tiden. Vore mycket enklare om man hade excel. Damn.
Fast du kanske inte menar halvera talet hela tiden? Borde kanske läsa igenom igen. |
| svampar - 13 nov 11 - 22:12 |
| Dufwan- ja, det är en skillnad. Men det finns fortfarande väldigt stora likheter, som t.ex det där med elektroner och protoner. Vi kan tycka att en sten och ett berg är i princip samma sak, fast vi hittar även stora skillnader, likaså stora likheter. Men det har egentligen inte med saken att göra, eftersom det jag försökte få fram var att en atom inte är den minsta beståndsdelen.. |
| Dufwan - 13 nov 11 - 22:09 |
| Det är de senaste böckerna. Ett svart hål har som jag sa inte samma form av massa. En atom tar upp plats, ett svart hål tar inte upp plats på samma sätt. Båda har massa, men inte massa som vi brukar ser på begreppet, alltså en kropp med vikt. |
| svampar - 13 nov 11 - 22:06 |
| Ett svart hål har en massa som har en så stark dragningskraft att inte ens ljus undkommer, därmed är det svart. Alltså har det massa. Ett svart hål har liknande egenskaper som en atom genom att objekt har en bana kring det precis som elektroner och protoner hos en atom. Det är väldigt svårt att förklara kostfattat, men i enkelhet uppför de sig väldigt lika. Kanske inte finns med i dina böcker om de är gamla, eftersom det är en ganska ny upptäckt (men jag tror snarare att det tas upp senare). |
| Dufwan - 13 nov 11 - 21:05 |
| Nja, en atom har en massa, tar upp rum och har en densitet på ett sätt som ett svart hål inte har. Det är inte en fråga om singulariteter i båda fallen. Och det vet jag, jag har läst rymdfysik 1, det enda man lärde sig var att det är för svårt för att man ska kunna lära sig det i rymdfysik 1. Och äh, dikta är ändå inte the place to be för att snacka matematik, så go for it. |
| svampar - 13 nov 11 - 20:51 |
| Dufwan- ja men ett svart hål beteer sig likadant som en atom. Dessutom är små partiklar jävligt mycket mer komplexa än vad du nu får det att låta som. Men jag ska inte prata mer om det nu, var bara tvungen att påpeka det där.. |
| Dufwan - 13 nov 11 - 20:09 |
| Ett svart hål är inte en stor partikel, utan är extremt mycket mer komplext än så. Dock så är det helt irrelevant för tråden, så vi lämnar det. |
| svampar - 13 nov 11 - 16:38 |
| west_west- Nu går det ju faktiskt att dela en atom i flertal mindre partiklar. Sedan ska man också komma ihåg, att även de största "partiklarna" i universum (såsom svarta hål) hör ihop med de absolut minsta, så vi lever i princip i en värld där det minsta är detsamma som det största, och inte går att skilja åt, och man vet ännu inte hur litet något kan bli. Därför är det egentligen fel att säga att det finns en minsta beståndsdel, likaväl som det är fel att säga att universum är ändligt/eller oändligt. Eftersom man inte vet. Därför skulle man alltså kunna dela i all oändlighet (vilket förstås låter helt orimligt). |
| Dufwan - 12 nov 11 - 12:41 |
| Fregel visade väl också att det rådande axiomatiska systemet ledde till stora paradoxer? Han, så att säga, raserade världsbilden om att matematik skulle vara Guds språk genom att visa på fel i axiomen. Senare kompletterades detta som sagt med "Gördels ofullständighetsteorem" där Gördel har logiskt bevisat att det är omöjligt att presentera ett komplett axiomatiskt system pga begränsningar i logiken. Så helt 100 håller jag inte med om att det är. |
| Dufwan - 12 nov 11 - 03:09 |
| Samma sak slog mig faktiskt också medan jag skrev, att man arbetar upp sin intuitiva logik. Dock så finns det inget självklart logiskt med det jag skrev om tal utanför mängder. |
| west_west - 11 nov 11 - 22:33 |
Du har missuppfattat vad jag skrev tror jag. Jag skrev i princip att det inte är ointuitivt egentligen. För om du hela tiden delar ett intervall, vilket är ett sätt att betrakta det hela (intervallet mellan a och b på reella axeln säg), och lägger adderar halvan så inses ju lätt att man aldrig når fram. Det enda komplicerade är att man måste acceptera konceptet med oändlig delbarhet, vilket inte är det minsta svårt om man använder en konternuerlig oändlighet som universum-mängd (säg mängden av reella talen igen).
Den logiska matematiken är en lekvärld och är baserad på 100procentig rationalitet. Uppnås det så blir människans logik ekvivalent med systemets logik.
/west_west |
| Dufwan - 11 nov 11 - 18:08 |
| än* |
| Dufwan - 11 nov 11 - 17:10 |
| I inlägget nämnda problemet blir dock intuitivt logiskt om man jämför det med att hälla upp snapsar ur en flaska. Oavsett hur mycket mindre du gör snapsarna, så är det ändock bara en enda flaska du häller ur. Man får aldrig mer sprit en säg en liter, bara en potentiellt oändlig mängd med disk! |
| Dufwan - 11 nov 11 - 17:05 |
Det finns ju motsatta exempel, där den logiska intuitionen är mer exakt än de matematiska bevisen.
Ex: "Det påstående som uppstår när man sätter in "Det påstående som uppstår när man sätter in x i "x" i stället för x kan inte bevisas" i stället för 'x' i "Det påstående som uppstår när man sätter in x i "x" stället för x kan inte bevisas" kan inte bevisas.". Applicerat på matematik kan man säga, att vi kan veta vilka tal som inte kommer att dyka upp i en talmängd, men vi kan inte matematiskt bevisa detta.
Jag vill påstå att det finns en ibland påtaglig skillnad mellan den praktiska matematikens logik och vår egen mänskliga logik. |
| Dufwan - 11 nov 11 - 17:00 |
Jag tänker inte fel. Läste du verkligen allting? Är medveten om att man aldrig uppnår ens satta gränsvärden om mängden man adderar ständigt halveras. Det står till och med i inlägget, lol. Jag har skrivit uppsatser om Gödels teorem, så någon bristande insikt inom matematik har jag knappast. Dock så vill jag påstå att det är intuitivt problematiskt att acceptera en potentiellt oändlighet av 1/(2^K) aldrig någonsin, ens efter en oändlig tid, skulle överskrida gränsen 2. Jag menar inte att matematiken brister, för det gör den vad vi vet aldrig. Men vår logiska intuition brister.
Med tråden ville jag se om det fanns någon som hade liknande matematiska exempel där vår direkta logiska intuition säger något, efter lite matematik, ologiskt. Även det står i inlägget, lol. |
| west_west - 11 nov 11 - 16:04 |
Du tänker fel. Som du redovisade konvergerar det mot 2 i det där fallet. Det är naturligtvis omöjligt att i verkligheten dela i mindre och mindre bitar, för förr eller senare stöter vi på något som är odelbart (atom) och då kan vi inte längre halvera storleken hela tiden. Matematiskt är man inte bunden av det. Reella talen tillåter oss att ständigt halvera i oändligheten. Förutsättningen är alltså oändlig delbarhet. Din logiska tes först förutsätter egentligen att du lägger en konstant men mycket liten mängd till den större mängden. Då kommer man självklart att få en ökning som överskrider alla tänkbara gränsvärden. Detta *inses lätt* om man tänker efter. Det är helt komplett logiskt och intuitivt, det är ett typskt "stirra på tills polletten ramlar ner"-problem.
/west_west |
